Бином Ньютона
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид:
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая (поэтому формулу называют Бином Ньютона), когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).
Примеры:
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.
Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид:
где - биномиальные коэффициенты,
представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а "!" – это знак факториала.
К примеру, частный случай бинома Ньютона при n=2 - это известная формула сокращенного умножения "квадрат суммы" вида:
Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (a+b)n, а выражение называют (k+1)-ым членом разложения, k=0,1,2,…,n.
Применение в математике
1) Напишите разложение выражения (a+b) в пятой степени по формуле бинома Ньютона.
Смотрим на строку треугольника Паскаля, соответствующую пятой степени. Биномиальными коэффициентами будут числа 1,5,10,10,5,1, таким образом имеем
2) Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения
В нашем примере n=10, k=6-1=5. Таким образом, мы можем вычислить требуемый биномиальный коэффициент:
Таким образом, можно сделать вывод о том, что, используя в школе так называемые формулы сокращенного умножения: квадраты и кубы суммы и разности двух выражений и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов двух выражений, мы и не догадываемся, что обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона и формулы разложения на множители суммы и разности степеней. Эти формулы часто используются в решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления.