Блез Паскаль
-
Родился: 19 июня 1623 г., Клермон-Ферран, Овернь, Королевство Франция
-
Умер: 19 августа 1662г., Париж, Франция
-
Родители: Антуанетта Бегон, Этьен Паскаль
Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.
Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:
Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.
Свойства треугольника Паскаля
Основное свойство:
Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел, а значит треугольник можно продолжать неограниченно.
Свойство 2:
Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.
Свойство 3:
Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...
Свойство 4:
Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей сносятся дважды.
Свойство 5:
Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, идущие по порядку.
Свойство 6:
Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа.
Свойство 7:
Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
Свойство 10:
Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих пространство, ограниченный теми диагоналям, на пересечении которых стоит это число.
Свойство 8:
Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.
Свойство 9:
Каждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
Свойство 11:
Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
Свойство 13:
Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.
Свойство 12:
Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
Свойство 14:
Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
При внимательном изучении треугольника Паскаля можно обнаружить, что:
-
сумма всех чисел в строке с порядковым номером n (отсчет ведется с 0) равна 2n;
-
если строки выровнять по левому краю, то суммы чисел, которые расположены вдоль диагоналей треугольника Паскаля, идущих снизу вверх и слева направо, равны числам Фибоначчи;
-
первая «диагональ» состоит из натуральных чисел, идущих по порядку;
-
любой элемент из треугольника Паскаля, уменьшенный на единицу, равен сумме всех чисел, расположенных внутри параллелограмма, который ограничен левыми и правыми диагоналями, пересекающимися на этом числе;
-
в каждой строке схемы сумма чисел на четных местах равна сумме элементов на нечетных местах.
Как это часто бывает в науке, исторически новейшая геометрическая фрактальная парадигма «раскрыла глаза» исследователям на фракталоподобную и сугубо фрактальную структуру объектов в таких областях математики, которые не являются геометрией. Это – теория чисел как широко понимаемая арифметика и перечислительная комбинаторика, известная с XVII в. Всё это уникально сведено воедино в арифметическом треугольнике Паскаля.
Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".